数模学习

数学建模学习

论文撰写

论文摘要

如果有必要数据，建议全部列出，列举不下的加上见附录数模

参考文献

直接利用知网自动生成的第一个

表格

使用三线表，表格居中

word内置AxMath和AxGlyph

Matlab学习

导入数据

优先选择表

绘图

选择很多，散点图、矩阵图、三维图等，也可以使用其他软件绘制，可以通过ECharts矢量图生成美化图片

数据预处理

清理缺失数据和离群数据

• 线性插值
• 平均值
• ……

算法学习

线性规划

要求：次数为一次

例如求总收益、总运费等

使用Linprog函数

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

官方链接：求解线性规划问题 - MATLAB linprog - MathWorks 中国

例题——最优化投资（多目标线性规划）

• 基本假设
  • 合理规划，简化问题
• 模型建立
  • 决策变量
  • 目标函数
  • 约束条件

非线性规划

至少一个变量是非线性的

例如$x^2 , e^x$等都是非线性

使用fmincon函数

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

$x_0$是决策变量的初始值，影响最终结果

nonlcon是非线性约束包括不等式和等式

常见求解收益率、病毒传播率、选址问题

nonlcon 是一个用户定义的函数，用于指定非线性约束条件。在非线性约束中，g 和 h 分别代表两种不同类型的约束：

1. g - 非线性不等式约束（Nonlinear Inequality Constraints）:
   • 这些约束必须小于或等于零（g(x) ≤ 0）。
   • 它们用于确保解满足某些条件，但并不要求这些条件严格成立。
2. h - 非线性等式约束（Nonlinear Equality Constraints）:
   • 这些约束必须等于零（h(x) = 0）。
   • 它们用于确保解严格满足某些条件。

官方链接：寻找约束非线性多变量函数的最小值 - MATLAB fmincon - MathWorks 中国

文章：Matlab非线性规划之fmincon()函数_matlab fmincon-CSDN博客

多目标规划

首先必须合理衡量每个目标的完成情况

• 正负偏差变量——衡量每个目标的完成情况，负偏差变量越小越好
  • 正偏差变量$d{_i ^+}= max\{f_i-d{_i ^0},0\}$,表示实际值超过目标值的部分
  • 负偏差变量$d{_i ^-}= -max\{f_i-d{_i ^0},0\}$,表示实际值未达到目标值的部分
• 绝对约束和目标约束
  • 绝对约束必须满足
  • 目标约束允许加入正负偏差变量，等式中引入正负偏差系数
• 优先因子
  • 给不同目标加上权重$P_k$

目标	意义	目标函数
不超过目标值	正偏差变量越小越好	$min \ P_1 * d{_1 ^+}$
恰好达到目标值	正负偏差都尽量小	$min \ P_2 * (d{_2 ^+}+d{_2 ^-})$
不少于目标值	负偏差变量越小越好	$min \ P_3 * d{_3^-}$

fgoalattain函数或者Lingo函数求解

优化变量学习

最短路径

% dist：最短路径的值
[dist,path,pred]=graphshortestpath(DG,start,end)

sparse函数——生成稀疏矩阵

• 内部包含三个矩阵
  • 起点
  • 终点
  • 权值

biograph生成图，view显示该图

最小生成树

G = graph(s,t,weights);% 图的三个矩阵，前两个描述顶点，最后一个描述边
T = minspantree(G);

灰色预测GM（1，1）模型

特点：数据少，看不出来规律

学习链接：GM（1,1）灰色预测模型——详细过程与python实现_灰色预测模型gm(1,1)-CSDN博客

• GM：Grey Model灰色模型
• (1,1)：只含有各一个变量的一阶微分方程模型——对应通解为$e^x + C$形式，具体查看淑芬的同届表达形式

由于数据是离散的，我们有：

$$\frac{dx^{(1)}}{dt} + ax^{(1)} = u \\ \frac{dx^{(1)}}{dt} = x^{0}(t)$$

为了消除随机性，我们引入

$$z^{(1)}(m) = \delta x^{(1)}(m) + (1-\delta)x^{(1)}(m-1)$$

$\delta = 0.5$即为前后时刻的均值

微分方程改写为

$$x^{0}(t) = - az^{(1)} + u$$

矩阵表示为

$$Y = X\beta + \varepsilon$$

最小二乘法

目的：使得离差平方和最小，即$minQ = \sum(x^{(0)} - \hat{x}^{(0)})^2$

通解为

$$\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}(X^TY)$$

级比检验

$x^{(1)}$ 的极比检验满足$\sigma \in(1,1.5]$当然也可以看占比

模型评价

• 残差检验

  • 绝对残差

  • 相对残差 $\varepsilon _r\left(k\right)=\frac{X^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)}{X^{\left(0\right)}\left(k\right)}$

  • 平均相对残差 $\bar{\varepsilon}_r = \frac{1}{n-1} \sum_{k=2}^{n} |\varepsilon _r\left(k\right)|$

• 级比偏差检验

原始数据比 $\sigma(k)=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k-1)}(k=2,3, \ldots, n)$

再预测发展系数计算级比偏差和平均极比偏差

$$\eta(k)=\left|1-\frac{1-0.5 \hat{a}}{1+0.5 \hat{a}} \frac{1}{\sigma(k)}\right|, \quad \bar{\eta}=\sum_{k=2}^n \eta(k) /(n-1)$$

层次分析法（AHP）

用于面对多种方案的决策问题

将问题条理化、层次化，将问题分为最高层、中间层、最底层

加权打分

构造判断矩阵

• 依次对变量进行两两比较得到完整的判断矩阵
• 一致性检验
  • 比较$a_{ij}$与$a_{ik}*a_{kj}$是否相等

引入正互反矩阵和一致矩阵

一致矩阵

一致矩阵特征值为n，其余特征值均为0，特征向量

$k\left[\begin{array}{llll}\frac{1}{a_{11}}, & \frac{1}{a_{12}}, & \ldots, & \frac{1}{a_{1 n}}\end{array}\right]^T$

特征值与特征向量基础：【数学基础】矩阵的特征向量、特征值及其含义_矩阵特征值和特征向量-CSDN博客

一致性检验步骤

• 计算一致性指标CI
• 查找随机一致性指标RI
• 计算一致性指标比例CR

当$CR < 0.10$时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应当对判断矩阵作适当修正.

• 计算权重向量

计算方法

• 算术平均法
• 几何平均法
• 特征向量法

根据最大特征值求出特征向量，归一化特征向量得到权重

• 回归分析法

Topsis算法

原始矩阵正向化

将所有指标类型统一转化为极大型指标

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大越好	成绩、GDP
极小型（成本型）指标	越小越好	脾气、费用
中间型	越接近越好	PH值
区间型	落在某个区间最好	体温、BMI

指标	公式
极大型（效益型）指标
极小型（成本型）指标	$\hat{x}=max-x$，max为指标最大值
中间型	$ M=max \{	x_i - x_{best}	\} , \hat{x}=1 - \frac{	x_i - x_{best}	}{M} $
中间型	$M=\max \left\{a-\min \left\{x_i\right\}, \max \left\{x_i\right\}-b\right\}, \quad \tilde{x}_i=\left\{\begin{array}{c}1-\frac{a-x_i}{M}, x_ib\end{array}\right.$

正向化矩阵标准化

和层次分析法中类似具体见前面